苏简兵[1]2003年在《广义华罗庚域上的若干问题》文中进行了进一步梳理在这篇论文中，我们讨论了叁个方面的内容：第一部分我们给出了四类广义华罗庚域的Bergman核函数的显表达式；第二部分我们得到了第一类超Cartan域与单位超球间的极值与极值映照；第叁部分我们给出了四类超Cartan域上全纯函数是Bloch函数的充分条件与必要条件。下面简要叙述本论文的关于这叁个方面的结果。 第一部分．Bergman核函数的显式表达 Bergman核函数在(单、多)复变函数理论的发展过程中起着十分重要的作用，Bergman在1921年研究复平面中区域D上的正交展开，其研究结果导出了一个核函数K_D(z，)，(z，t)∈D×D。1933年，Bergman又把这一理论推广到了多复变的情形。众所周知，C~n中的任一有界域都存在唯一的Bergman核函数。但是哪些域的Bergman核函数能显式求出来呢?这是一个很自然也很重要的问题。而且在解决一些重要问题时，也依赖于Bergman核函数的显表达式。例如Mostow和Siu在对具有负截曲率的紧致Khler流形的万有覆盖一定双全纯等价于超球这一重要猜想所给出的反例中，域{z∈C~2：|z_1|~2+|z_2|~(14)＜1}的Bergman核函数的显表达式起了关键性作用[MoS]。在给陆启铿猜想以反例时，也经常要用到Bergman核函数的显表达式[Bo]。因此，如何求Bergman核函数的显表达式一直是多复变函数论的一个重要的研究方向，至今仍吸引着许多数学家对此进行研究。 能够求出Bergman核函数的显表达式的域的种类并不多。在殷慰萍构造华罗庚域以前，只有两种类型的域可以求出Bergman核函数的显表达式。一类是复椭球域(Complex ellipsoid domain)，又称作蛋型域(Egg domain)或卵形域(Complexoval)；另一类是有界齐性域。 华罗庚利用典型域的全纯自同构可递群，以及Bergman核函数在全纯自同构下的变换关系，得到了四类典型域(也称为对称典型域或者Cartan域)的Bergman核函数。这种求Bergman核函数的显表达式的方法称为华罗庚方法。对于一些非对称的齐性域，也可以用华罗庚方法得到它们的Bergman核函数的显表达式 我们知道，有界Reinhardt域的完备标准正交系由单项式组成，而复椭球域是包含原点且以原点为中心的有界Reinhardt域，于是可以通过无穷级数求和函数的方法，计算其Bergman核函数的显表达式，这种求Bergman核函数的显表达式的方法称为级数法。 摘’要2 通常要构造一些可以求出其I3lfgllllll核函数的显表达式的域是比较困难的．因此，一些数学家认为，凡是其BIYgllllll核函数能显式表示的域都是很好的域，是值得研究的域． 殷慰萍自＊ 98年起，引入了一些新的类型的可以求出其 Berzlnan核函数显表达式的域．井将其不断地进行推广，至＊0（）（）年引进了华罗庚域．至 200年初，又将其推广至广义华罗庚域．广义华罗庚域是指如下形式的域： GHEI卜卜…，N；，r。，n； PI，…，Pr；k） 一 ｛二5了。c＼Z。贝小I乙，7丛）：二卜／0。＜。I。厂一＊Z广／－工，…，叮｝ j，1 GHE，I（NI，…，N．； P； PI，…，Pr；k） 二｛？互刃】。C＼Z。W厂歹（P）：二 I了二与‘’。＜det（l一 ZZ）什，j一 l，…，r号 j＝l OHElll（NI，…，从：q； PI，…，Pr；》。； －王了1。了。C屿，Z。Will（q）：二 l贺I。。I’w＜d＜。（I＋ZZ）＆，j工 1，…，＜｝ j—1 乏二711J日工I。，（二一～了卜…，Nr；，。Z；1，…；刃厂一r；I 一 ｛且y了＊c…丐＊ 羽歹兄甲（I）二二卜IJj广＊J＜（且十I一巨2一＊＊＊）＆习j＝l习切回回＠＊） j。1J目一厂吞】n5j＝（｛i夕．if，…，7互I。厂；），7一亚，…，）·习G叁八7l，了从），R 11（p）号 奸Ill（q），9臼叁IV（n）＃5弓u表示四类＊肌hr。域（卜。叫）．扩’表示Z的共轭转置，了表示厂的转置，了表示Z的共轭．N；，…，Nr； P了’，…，沁l为正整数，P＊；k为正实数． 当k＝互时，广义华罗庚域就是华罗庚域． 由于在一般情况下广义华罗庚域既不是有界齐性域，也不是有界Reinhardt域，因此既不能用华罗庚方法，也无法用级数法得到其B。rgman核函数的显表达式．我们给出一种新的方法来求出广义华罗庚域的u。，rgman核函数．首先给出其全纯自同构群，其中的元素厂…，））将点…，））映为点…”，0）．由于关于B）fgf。n核函数有如下的变换公式： K《i1J，1）；而刁）＝卜1＊（矛IF）D＊K《71少＊弓0）；厂工历，其中（，卜）是尸（，；）的．I；COI）i矩阵，迁1et（．117）是（．和）的行歹式，这些都是易知的．所以问题变为只须计算H以。I，”，0）；币而）．然后给出S。llli－Rlillhllydt域的定义，并且求出S，。11i－Rei。dlar。It域的完备标准正交基．由于广义华罗庚域是Semi－R．）illllll以域，所以可以
苏简兵, 丁莉, 殷慰萍[2]2003年在《广义华罗庚域的Bergman核函数的计算》文中进行了进一步梳理给出了 4类广义华罗庚域的全纯自同构群及其当参数都是正整数的Bergman核函数的超几何函数表达式和当参数之一为正实数而其余参数的倒数为正整数的Bergman核函数的显表达式 .
赵振刚[3]2002年在《华罗庚域中的若干问题及有界对称域的特征》文中指出本论文主要内容分四部分叙述。第一部分给出第二类华罗庚域和两类广义例外华罗庚域的Bergman核函数的显表达式；第二部分研究Bergman度量的完备问题，证明了超Cartan域(一种特殊的华罗庚域)关于Bergman度量完备；第叁部分给出了第一类超Cartan域的建立在其特征边界上的积分表示公式；第四部分则给出了C~n中的有界域全纯等价于典型域的充要条件。这些都是多复变函数论中的重要的研究课题。现将主要结果叙述如下。本论文第一章包括如下内容： 1 当为正整数，p_n=q＞0时，第二类华罗庚域的Bergman核函数 其中b_k由如下的递推公式决定：其中 其中c_(ik)由下列递推公式决定： 由于HE_Ⅱ不是齐性域，所以用可递群求其Bergman核函数的方法行不通。也不能象Reinhardt域那样只要求出一个无穷级数的和就可以得到其Bergman核函数。我们首先给出HE_Ⅱ的一些全纯自同构，使得对任一(存在全纯自同构f,满足于是：其次，引进Senti Reinhardt域的概念并求出其完备规范正交系，因为HE_Ⅱ是Semi Reinhardt域，故可利用完备规范正交系计算。结合上述两种方法就可获得HE_Ⅱ的Bergman核函数的显表达式，对于两类广义例外华罗庚域，还要用到Jordan Triple System的理论，才能求出其Bergman核函数的显表达式： 2 当是正整数，时，广义例外华罗庚域的Bergman核函数其中满足如下的等式：于是，可从等式得到所有的a_j, ＝＝＝＝＝＝＝＝－－ry－－－－－－－u－－－－dstu－－－－－thAlca000ereereereforfortheerethettithe n 其中广；k由下歹递推公式决定：。；k—一a人（一2）·仁k（一（；＋1））一二ill几一；（一（、；十 l）＋ 川川一小＊’卜V、了八入）n＞（宁＋．儿＊＊一C＊杆人／q。 3当 1小 一 q；．l加 二们、… 1／尸n－1—q。；－l是正整数，尸n一 q ＞（）．N ＞ 0时，广义例外华 罗庚域HE；·仰．w…，趴：卫6．V）的Be：g二。11核函数KI川。。）。（。。引一 ＿n＿＿。I6 l灯＝1厂／【。，；＿＿＿＼1一厂入八 厂＿，“价人八5）了气。。。0＿。02 0＿。02； 77y－－－－s－s－－－－－ 上VI引工 川D——‘—‘”）OhIhir叫·，卜。；D J ［／（；。）7TPS！111二。7””W－ ＼一In／”‘一fi。qJ ＊。口 其中叁／＊一Z；卜；。（丁．T）了半（l一 1．2．．、，竹一 1）．＜二zn卜；。（工．丁）t．b；。一 NI〔。 l）人由女下的递 推公式决定：b；；一f（一 1），r一（kH》 b＊一 Z：J b＊＊一；卜（l＋ l）＋川／［（－ 1）仆！卜 b人（［： ZI＞· 其中j（。）＝＊－；卜。＋。）n兰 卜。＋。）。 O。。1 们一1《。－1一‘（一1／1＿p，。一1；，人＿卜m＼．I／’q－K十1） I公QTS————》 》＞C7人7：————。 d下1 0T、＿1————＿＞一“””卜1＿厂1。一1，，JZ，‘／叭＼1／叮＿，。、h，1 ’””‘l”“””l。1。0。，＿1。0。，ig＼1一乙I—liu7 丁］）‘’”一＊7；卜‘ 其中cj。由下列递推公式决定：j；。一j八幻巾八o＋川－二土比到卜O＋l）＋ 川川一互）＊J，卜c＊人J人（人）一n＞＜宁十J＞－叫一e＊n月／＊。 注：N＊（；。，。，）及广义例外华罗庚域的定义在第一章的14节． 厂＊中的有界域D相对干Berzman度量完备是指其相对于Bersmal。距离bn完备．但 （D．hi。）并不总是完备的距离空间．1955年，Bremernlann证明旧”」如果（D．b川是完备 的，则D是拟凸域．但是如果D是拟凸域，则（D．b。）未必完备．因此，Kol。。xashi于 1959年提出一个着名的问题 t“叫：哪些有界拟凸域相对于 Berzman距离完备？决定 D是 否相对干B。rgll。。n距离完备通常是比较困难的，因此％w。FC。yrish引进不变距离pDrk」 T＊＊＊yf，P＊0llg与M石kw＊rCz｝ds＊i证明女果p．尸＞完备，则（D．b＞完备卜’尸」．本文获 得了如下定理以回答Koba吓sl。i提出的问题．本论文第二章包括如下内容： O）设D〔＊”为有界齐性域，c〔＊’‘为有界域．假设f：0一D是一全纯映射；满足 如下条件：川j在GUOG上连续；（…j（OG）〔OD 则G相对于B，Gg。Gll距离讪完备． p）设D是厂”中的有界域；如果B凹gm＊。核函数K D（。、）满足如下条件： 川K口（Z）在Dx（DUa川上连续； （＞只任意尸叁dD。1＊m二一＊K＊（二，二）二＋x
殷慰萍[4]2008年在《C~n中有界域的Bergman核函数的零点问题》文中进行了进一步梳理多复变数空间Cn中有界域的Bergman核函数的零点问题集中表现为陆启铿猜想.陆启铿猜想是波兰数学家M.Skwarczynski对陆启铿1966年的一篇文章中关于Bergman核函数的零点问题而命名的,至今已经40年了.该猜想已写入了多复变函数论的多本专着,引起很多数学家的兴趣而研究之,已经成为多复变函数论中的一个活跃的研究方向.本文简述了陆启铿猜想的最初含意,综述了迄今为止关于有界域的Bergman核函数有无零点的各种研究成果以及所用的思想和方法.特别对近来出现的陆启铿猜想的新研究领域进行了较详细的阐述并在最后提出了关于陆启铿猜想的6个Open Problems,希望国内的年轻数学家对陆启铿猜想感到兴趣而研究之.
参考文献：
[1]. 广义华罗庚域上的若干问题[D]. 苏简兵. 首都师范大学. 2003
[2]. 广义华罗庚域的Bergman核函数的计算[J]. 苏简兵, 丁莉, 殷慰萍. 首都师范大学学报(自然科学版). 2003
[3]. 华罗庚域中的若干问题及有界对称域的特征[D]. 赵振刚. 首都师范大学. 2002
[4]. C~n中有界域的Bergman核函数的零点问题[J]. 殷慰萍. 数学进展. 2008