论文摘要
本文利用了变分方法、Nehari流形方法以及不动点指数理论等方法讨论两类具有非局部项的非线性椭圆问题解的存在性和多重性.本文共分五章.在第一章,我们简要叙述了本文所研究问题的相关背景、研究现状、工具性定理以及论文的结构安排.在第二章,考虑了具有弱奇异性的Kirchhoff型椭圆问题（?）其中是股是NV ≥ 3)中的有界闭区域,参数△>0.对于上述方程,大部分的结果是考虑的G’（s= s的情形,本章考虑了更一般的情况,即具有一定光滑性的单调函数G（s）.我们发现解的存在性或多重性依赖于f和G之间的增长关系,粗略地讲,当|f（r,u）～|u|p-1（1≤p<2*-1）,G（||u||2）～||u|2q.本文利用变分和扰动的方法分别对p>2g（见定理2.1）,p<2g（见定理2.2）和p=2g（见定理2.3）,给出了方程正解的存在性及多重性.本章推广了文[84]的结果.在第三章,我们考虑了强奇异条件的Kirchhoff型椭圆问题（?）对于上述方程,由于能量泛函缺少光滑性（甚至缺少连续性）,已知结果主要集中在γ<1的情形.据我们所知,除文献[1]外,γ ≥ 1的情形很少被研究过.本章考虑了γ = 1的情形,并利用不动点定理和构造逼近方程等方法证明了当μ>0时,正解是存在并且唯一的,改进了文[79]的结果.在第四章,我们讨论了更一般的p-Kirchhoff型椭圆方程（?）这里△pm=div（|▽u|p-2▽u）,Ω是RN中的有界光滑区域,0<r<1<p<q<p*,M（s）=asp-1+b（a,b>0）,f,g ∈（Ω）是非平凡非负函数.应用Nehari流形方法,我们证明了:当p2<g<p*时,对充分小的正数入,方程至少有两个正解;当p2 = q<p*时,对所有的正数a,入,正解是存在的,并且当正数a,入充分小时,正解至少有两个,这推广了文献[80]的结果.在第五章,考虑了另一类形式的非局部项椭圆问题（?）其中Ω（?）RN（N≥1）是有界光滑区域,γ ∈（0,+∞）,a:[0,+∞）→（0,+∞）,f:Ω×（0,+∞）是满足适当条件的函数.本章分别对区域Ω是有界的、环形的,函数f（x,u）在《=0连续或者奇异等情况,利用不动点指数理论,研究了正解的存在性或多重性.与已知文献的不同在于:（1）当a（t）有界,区域Ω有界时,得到了至少两个解的结果,推广了之前有解的结果;（2）当a（t）无界,区域Ω是环形区域时,我们移除了函数f（|x|,u）关于变量u单调的条件,并得到了多个正解的结果。
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 王德臣
导师: 闫宝强
关键词: 椭圆方程,奇异性,多解,流形,变分方法
来源: 山东师范大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学
单位: 山东师范大学
分类号: O175.25
总页数: 100
文件大小: 2498K
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