导读:本文包含了非光滑最优化论文开题报告文献综述、选题提纲参考文献及外文文献翻译，主要关键词:光滑,序列,最优化,函数,局部,步长,稳定。
非光滑最优化论文文献综述
苗晴[1]（2018）在《最优化信号处理中若干非光滑、非凸与非线性问题的研究》一文中研究指出在当今信息时代,有效的信号分析与处理方法在信号处理、通信和计算机等领域的核心理论与技术中十分重要。最优化是研究决策问题最优选择特性的一门学科,它构造寻找最优解的计算方法并研究它们的理论性质和计算表现。稀疏性和优化理论的研究在当前研究领域中是重要的组成部分,在信号处理中有着广泛的应用。本文结合信号处理中的稀疏优化、聚类与分类、SigmaDelta调制器的最优设计等若干问题,同时结合非光滑、非凸与非线性优化理论与方法展开研究,具体工作概括为如下方面:1.针对稀疏性问题中的非光滑优化模型,具体对目标函数为l1范数形式、同时含有不等式约束条件为变上限的l∞范数形式的优化问题进行研究。首先求解一个线性规划问题来确定不等式约束上限的取值范围,然后转化原问题形式并进行理论分析,经数学证明得出原问题的l1范数目标函数值与l∞范数不等式约束上限值之间的分段线性关系,并通过对多组信号进行计算机数值实验,验证了结果的有效性。2.针对信号处理中非光滑优化的聚类问题,提出叁种基于字典学习的l2范数、l1范数和l∞范数非光滑的聚类优化算法,通过求解一个优化问题将每个特征分配给一个簇,再求解另一不同的优化问题重新计算代表簇的向量,算法不断迭代直至收敛,为聚类优化的研究提供了新的思路。此外,基于类内距离与类间距离的非凸优化分类问题,在不满足特征值方程的情况下寻找全局最优线性投射超平面向量,本文将类内距离与类间距离的加权和作为目标,同时将决策向量的l2范数的平方作为二次等式约束条件。对于该问题,研究并证明了该问题的目标函数数值的全局最小值等于目标函数的Hessian矩阵的最小奇异值,同时也证明了该非凸问题的全局最优解是在目标函数的Hessian矩阵与这个奇异值乘单位阵之差的零空间中,给出了全局最优解的解析形式,计算机计算结果说明了本方法的有效性。3.在非线性约束优化的相关理论上,提出了以lp(p>1)罚函数作为效益函数的序列二次规划方法的相关推论和严格证明。研究结果表明,若用原问题对应的二次规划子问题的解为搜索方向,那么lP罚函数沿该搜索方向的方向导数满足某不等式条件;进一步,当罚参数满足一定的取值时,该搜索方向是lp罚函数在原问题处的下降方向,并给出了相应的算法,同时数值实验验证了该方法的有效性,为非线性约束优化方法的研究提供了新的思路。在非线性约束优化的应用方面,提出了一种基于绝对稳定性判据多比特内插型Sigma Delta调制器(SDM)的优化设计。首先基于最小化中平量化器的最大输出输入比值和绝对稳定性判据,选取了均匀类型的中平量化器,并从数学上证明了该量化器是最优的;其次为了获得具有良好噪声整形特性的环路滤波器以达到高信噪比,设计了多比特内插型SDM的环路滤波器设计上,说明了滤波器的设计准则和约束条件。环路滤波器在严格稳定或边缘稳定条件下,以最小化噪声传递函数在信号带内的频率响应的能量为目标,同时以绝对稳定判据、信号带内的噪声传递函数频率响应和信号带外滤波器的频率响应的幅值等作为约束,把它转化为一个非线性约束优化问题,同时它也是一个非凸的优化问题,最后用遗传算法求得该问题的近似全局最优解,实现了更宽的稳定性裕度和更高的信噪比,具有一定的理论价值和实际应用意义。综上所述,本文基于信号处理中的若干问题同时结合非光滑、非凸与非线性的最优化理论展开研究,融合了信息科学与数理科学等交叉性研究且有一定的创新。本文的研究内容具体且明确,对发现理论规律和特性并解决某些实际应用问题有一定的意义。(本文来源于《广东工业大学》期刊2018-12-01）
时晓敏[2]（2017）在《带非光滑系数的投资组合最优化问题》一文中研究指出金融数学主要包含叁个分支:投资组合理论;资产定价理论;风险度量理论。本文主要研究连续时间投资组合选择问题。期望效用最大化和均值-方差组合优化模型是目前两种最主要的投资组合选择理论。除此之外,考虑如何以尽可能大的概率达到一个预先设定的目标也是一个很有趣的投资组合选择方式。本论文将对这叁种投资组合选择理论进行不同程度的推广。期望效用理论由于受到了诸如Allais悖论、Ellesbcrg悖论的挑战,逐渐被更广的效用理论(如递归效用,多先验效用)所代替。在本论文中,我们首先从两方面研究递归效用最大化问题。第一方面,我们研究了部分信息下递归效用的优化问题,其中投资者只能观测到股票价格,而无法观测到股票的平均收益率,同时不需要递归效用方程的系数是可微的。本文利用鞅方法,通过一系列的转化,将该问题转化为一个博弈问题,然后用凸对偶方法刻画了该博弈问题的鞍点,并给出了原问题的最优终端财富。第二方面,我们研究了凹系数下的递归效用优化问题,其中投资者的财富方程和递归效用方程的系数都不需要可微性假设,从而能够包含借入借出利率不相等模型和K-未知模型。通过鞅方法和凸对偶方法,我们给出了其对偶问题的鞍点刻画以及原问题的最优终端财富,并且给出了几个能够显式算出最优解的例子。其次,我们把均值-方差组合优化模型从经典的线性财富方程推广到一类非线性非光滑财富方程情形。当财富方程的系数都是确定性函数时,我们采用动态规划原理,写出其相应的HJB方程,并且构造出了该HJB方程的粘性解,从而得到了最优投资组合的反馈形式;当财富方程的系数是随机过程时,借助于随机Riccati方程,我们用配方法给出了最优投资组合的反馈形式。另外,为了与[53]中的充分性作比较,本文还利用凸对偶方法找到了财富方程的"合适"的下导数。第叁,我们研究了投资者对于股票收益率有模糊时的达到目标问题。投资者想要寻找最稳健的投资策略,所以这本质上是一个博弈问题,但是由于目标函数非凸非凹,甚至不连续,"min-max"定理无法直接使用,我们会直接证明"min-max"可以交换,并且显式的给出鞍点的形式。在经典的概率公理体系中,极限理论是一个很重要的分支。由于Allais悖论、Elles-berg悖论的出现,在期望效用理论被更广的效用理论所替代的同时,概率的可加性,甚至Kolmogorov的经典概率公理体系也受到了冲击。这促使学者们开始研究非可加概率和非线性期望下的大数定律和中心极限定理。但是,非可加概率下的中心极限定理进展非常缓慢。在信念测度下,最近[30]给出了针对Bernoulli随机变量的双边区间上的中心极限定理。虽然信念测度在某种意义上是最特殊的一种非线性概率,这仍然是很大的进步。因此,在本论文的最后一章,我们把[30]中的中心极限定理从Bernoulli随机变量推广到了一般有界随机变量。其中,刻画双边区间上的信念测度需要用到二维正态分布,其相关系数的计算是非常复杂的。下面,我们将简要的介绍每一章的主要结果。1.部分信息下的递归效用优化假设金融市场中的股票价格满足以下随机微分方程:(?)在本章,我们假设投资者观测不到股票的平均收益率μ'=(μ1,...,μd)和驱动股票价格的布朗运动W,而只能观测到股票价格S。从而,投资者必须基于股票价格选择投资策略来达到递归效用最大化,也就是说他的投资组合π(t)必须是gt=σ(S(u),u ≤t)适应的。由于投资者无法观测到布朗运动W,他的递归效用过程也就无法用W来驱动。为了定义基于信息流{gt}t>0的效用过程,我们引入新息过程(?)上述W是概率p下的布朗运动,并且σ(W(s),s≤y)(?)gt。从而我们可以定义投资者的递归效用过程(?)并且财富方程可以写成dX(t)=π'(t)μ(t)dt + π'(t)σ(t)dW(t).(0.0.3)通过上述滤波技术,我们的在第一章中主要研究的问题可以归结为最大化yx,π(0),(0.0.4)其中X(t≥ 0表明不允许投资者破产。根据BSDE的解的存在唯一性,我们知道选择π和选择终端财富X(T)是等价的,而且根据BSDE(1.2.3)的比较定理,我们知道一个非负的终端财富(ζ= X(T)≥ 0)会使得财富过程在任意[0,T]上的时刻都非负。从而,我们的问题(0.0.4)转化成下面的优化问题:其中并且"控制变量"终端财富ξ是从下面这个集合中选出来的由于函数f是凹函数,不一定可微,所以[54,55]中的最大值原理无法使用。我们把上述问题(0.0.5)进一步转化成一个博弈问题:其中函数F是f的凸对偶函数并且我们想要找到鞍点(β,γ,ξ)∈B × A(x)使得对任意0<ζ<∞,我们引入值函数以及在1.3节,我们得到了以下结论。引理0.1.假设(H1.1),(H1.3),(H1.4)成立,对任意给定的ζ>0,存在一对(β,γ)=(βζ,γζ)∈ 达到式(0.0.9)中的下确界。引理0.2.假设(H1.1),(H1.3),(H1.4)成立,并且设则对任意给定的x>0,存在ζ = ζx ∈(0,∞)达到式(0.0.10)中的下确界。本章我们的主要结果是:定理0.1.假设(H1.1),(H1.3),(H1.4)成立,令(β,γ)是值函数(0.0.9)中的极值点,ζ是式(0.0.10)中的极值点,则(β,γ,ξ)是式(0.0.8)的鞍点,其中在1.4节,我们主要研究了当d = 1,f =K|Z|时的几个例子。例0.1.当u(x)=1-e-αx,x ∈R,α>0时,我们有问题(0.0.5)的最优终端财富值是例 0.2.当 u(x)= 1n x,x>0 时,我们有其中(y(t),z(t))是下述BSDE的唯一解,以及ζ=1/x 问题(0.05)的最优终端财富值值是ξ =·例0.3.当μ(t)是t的有界确定性的函数时,我们有例 0.4.2.凹系数下的递归效用优化在第1章中,财富方程是线性的,但是在很多重要的金融市场中,财富方程不再是线性的,比如借入-借出利率不相等情形。所以本章将研究当财富方程和递归效用方程的系数都是凹函数时的效用最大化问题。在第2.2节开始,我们首先给出了几类重要的财富方程,他们的系数都是非线性非光滑的,但是都是凹函数。把终端财富值看成"控制变量",我们的问题是,其中和由于函数b和f都是凹函数,不一定可微,故无法用最大值原理来刻画最优的ξ。所以我们把上述问题转化成变分形式我们想要找到鞍点(β,γ,ζ)∈ β ×A(x)使得对任意0<ζ<∞,引入值函数和在2.3节,我们得到了以下结论,引理0.3.假设(H2.1),(H2.2),(H2.3)和(H2.4)成立,则对任意给定的ζ>0,存在(∞,γ)=(βζ,γζ)∈ B和(μ,υ)=(μζ,υζ)∈B'达到式(0.0.16)中的下确界。引理0.4.假设(H2.1),(H2.2),(H2.3)和(H2.4)成立,对任意给定的实数x>0,存在实数a ∈(0,∞)达到式(0.0.17)中的下确界。本章我们的主要结果是下面的定理。定理 0.2.假设(H2.1),(H2.2),(H2.3),(H2.4)和(H2.5)成立,令(μ,υ,β,γ)是式(0.0.16)中的极值点,令ζ是式(0.0.17)中的极值点。定义则我们有(?)ξ ∈A(x),(?)(β,γ)∈ B,也就是说,(ζ,β,γ)是问题(0.0.15)的鞍点。在2.4节,我们令函数f =K'|Z|,u(x)= 1/αα,x>0,0<α<1,然后分别研究了线性财富方程情形、借入-借出利率不相等情形以及价格压力模型。特别地,对于最后一种财富方程,当系数是t的确定性函数时,我们用推广了的动态规划原理给出了最优的投资组合过程和最优的效用强度过程。3.一类非线性财富方程下的均值-方差问题假设投资者的财富方程满足以下随机微分方程:对于给定的期望水平K,考虑下面的连续时间均值-方差投资组合选择问题:在3.2节中,我们首先研究了当股票个数和布朗运动维数d=1,以及所有系数r,θ,θ,σ都是t的确定性函数时的均值-方差问题。我们把问题(0.0.19)动态化,得到值函数v(t,x;d)(d是拉格朗日乘子)应该满足HJB方程,我们给出了 HJB方程(0.0.20)的一个粘性解并且说明了该粘性解就是值函数v(t,x;d)。定理0.3.假设(H3.1)成立,则是HJB方程(0.0.20)的一个粘性解。并且问题(3.2.6)的最优反馈控制是进而我们得到了本节最主要的结果。定理0.4.问题(0.0.19)的有效策略可以写成时间t和财富X的函数:在3.2.3节中,我们给出了几个符合财富方程(0.0.18)的金融市场模型。本章3.3节致力于研究d≥1维随机系数情形的均值-方差问题(0.0.19)。首先,对于问题(0.0.19)的可行性,我们有以下定理。定理0.5.对任意的(?),均值-方差问题(0.0.19)是可行的当且仅当其中由于财富方程(0.0.18)的系数是随机的,故问题(0.0.19)无法用3.2节中的动态规划原理方法解决。而且[53]中的终端变分方法也无法使用,因为(0.0.18)的系数不可微。所以我们将采用完全平方法,而这需要两个推广了的随机Riccati方程。其中我们研究了方程(0.0.22)和(0.0.23)的解的存在唯一性。定理0.6.BSDE(0.0.22)(相应地(0.0.23))存在唯一解(Pr,A1)(相应地(P2,A2))。有了随机Riccati方程的解的存在唯一性,我们就可以通过Riccati方程来构造问题(3.3.6)的最优控制。定理0.7.状态反馈控制是问题(3.3.6)的最优控制。而且问题(3.3.6)的最小花费是本节的主要结论是定理0.8.问题(0.0.19)的有效策略可以写成时间t和财富X的函数:在3.3.3节,当d = 1时,我们用凸对偶方法把[53]中推论4.4断言的下导数找到了。即其中(Y,Z)是下面这个倒向随机微分方程的解并且4.带模糊的目标可达问题在本章中,我们研究了当投资者对于股票平均收益率带有模糊时的"目标"问题。投资者试图寻找一个最稳健的投资策略,即在最坏的可能情况下以尽可能大的概率达到"目标"。具体的说,本章研究了以下博弈问题:由于目标函数I{x≥1}既不是凸函数也不是凹函数,甚至不连续。在这种情况下,"min-max" 定理无法使用,我们直接证明了 "min-max" 可以交换,并且显式的给出了鞍点的形式。令其中通过直接证明以下两个定理,定理定理得到了本章最重要的结果,定理0.11.(θ*,π*)是问题(0.0.24)的一个鞍点,也就是说,5.信念测度下的中心极限定理本章致力于将[30]中关于信念测度下Bernoulli随机变量的中心极限定理推广到一般有界随机变量情形。5.2节给出了信念测度的基础知识,5.3节研究了信念测度在单边区间上的中心极限定理,得到了以下结论。定理0.12.对于假设(H5.1)中定义的随机变量序列(?),我们有和其中μ,μ,σ,σ厅是引理5.1中定义的。以上结论显示独立同分布随机变量序列的部分和经过合适的标准化会渐进于标准正态,似乎看不出与经典的中心极限定理的本质区别。由于信念测度的非可加性,单边区间的中心极限定理并不能完全刻画信念测度的全部性质,甚至连双边区间上的极限性质也无法刻画。对于双边区间情形,我们有以下极限定理成立。定理0.13.对于假设(H5.1)中定义的随机变量序列(?),存在不依赖于α1,α2或n的常数K使得其中ρ是引理5.2中定义的。而且,上述结果当α1和α2依赖于n时也是成立的。从上述定理可以看出来,独立同分布随机变量序列的部分和落入双边区间的信念测度渐进于二元正态分布,这是与经典概率测度下的中心极限定理本质不同之处。(本文来源于《山东大学》期刊2017-05-21）
文永芬[3]（2017）在《非光滑多目标最优化问题的强KKT条件》一文中研究指出多目标优化问题的强KKT条件是相应于目标函数每个分量的拉格朗日乘子都大于零的KKT最优性条件,强KKT条件需要在约束规格的假设下才能成立.约束规格及强KKT条件方面的研究是多目标优化领域的重要研究课题,国内外的这方面的研究已经取得一系列重要结果.本文考虑含有不等式约束和任意集合约束,目标函数和约束函数都是局部李普希兹的非光滑多目标优化问题.利用Clarke次微分,相依锥和Clarke切锥,我们提出了两个新的广义Abadie约束规格,进而得到了一些新的有效解的强KKT最优性必要条件方面的结果.这些结果的证明主要运用了凸集的强分离定理.另外,我们还给出了本文所提出的约束规格以及其它一些广义Abadie约束规格之间关系的结果.(本文来源于《吉林大学》期刊2017-05-01）
李晨宇[4]（2016）在《新型拉格朗日神经网络解决非光滑最优化问题的研究》一文中研究指出优化问题是科学与工程应用中的一类重要问题,它包括组合优化问题和函数优化问题。研究者们已对优化问题开展了大量的研究工作并提出了很多解决方法。然而,在科学与工程应用中往往需要实时解,由于问题的复杂性,使用传统方法求解的速度已不能满足要求。一个解决此类问题颇具前景的方法便是使用人工神经网络。由于其内在的大规模并行机制以及快速执行的硬件结构使之执行效率显着优于传统优化算法。最近几十年,研究学者提出了一些能够解决最优化问题的模型,但是这些模型大多都是基于早期的固定惩罚项系数的方法,在网络计算之前就必须得到具体的惩罚项系数值才能保证网络能够收敛到最优解集。然而很多情况下,这些数值都是难以计算的。本文拟借鉴拉格朗日乘子罚函数的思想提出一种解决非光滑非凸优化问题的神经网络模型,该网络模型的惩罚项系数是变量,且无需事先计算惩罚项系数的初始值仍能保证神经网络收敛到优化问题的最优解。具体内容如下：本文首先分析了约束函数是线性受限的李普西斯函数。然后提出了一个新的拉格朗日神经网络模型,理论证明了当网络经过一定时间以后状态向量x会停留在可行域内,并且能够收敛到问题的关键点集。最后通过仿真实验来验证结论。然后,本文又针对约束函数为非线性不等式的李普西斯函数情况进行了分析。利用Clarke广义梯度的理论和拉格朗日乘子法的思想,建立了一个微分包含的神经网络模型。首先通过函数的性质说明了网络解的存在性,接着利用能量函数的思想证明了网络是有平衡点的,并且平衡点属于问题的关键点集,当目标函数是凸函数的时候,平衡点就是问题的最优点。(本文来源于《广西大学》期刊2016-05-01）
喻昕,于琰,谢缅[5]（2014）在《光滑拉格朗日神经网络解决非光滑最优化问题》一文中研究指出针对目标函数是局部Lipschitz函数,其可行域由一组等式约束光滑凸函数组成的非光滑最优化问题,通过引进光滑逼近技术将目标函数由非光滑函数转换成相应的光滑函数,进而构造一类基于拉格朗日乘子理论的神经网络,以寻找满足约束条件的最优解。证明了神经网络的平衡点集合是原始非光滑最优化问题关键点集合的一个子集;当原始问题的目标函数是凸函数时,最小点集合与神经网络的平衡点集合是一致的。通过仿真实验验证了理论结果的正确性。(本文来源于《计算机应用研究》期刊2014年05期）
龙强,李觉友[6]（2013）在《次梯度法在求解非光滑最优化问题时的计算效果研究(英文)》一文中研究指出本文研究了次梯度法的一些重要问题。次梯度法是梯度法在非光滑优化中的直接推广。在每一步的迭代中,选取一个负次梯度方向为搜索方向,并以一定的规则设置搜索步长。次梯度法的每一步迭代不一定都下降,但是可以证明,对于非光滑凸优化问题,次梯度法能够保证全局收敛性。次梯度法的搜索步长是预先设置的,步长设置准则包括常值步长准则、有限平方和步长准则和已知全局极小值的步长准则。本文对各种步长准则的收敛性进行了证明。为了验证次梯度法在不同的步长准则下的计算效果,本文应用次梯度法对一系列非光滑最优化问题进行了计算实验,并分析了他们的计算结果。数值实验结果表明,常值步长准则收敛速度慢,精度不高,而且步长的选择困难。而有限平方和步长准则收敛速度更快,也能够达到更高的精度。至于已知全局极小值的步长准则,虽然精度也较高,但是因为需要事先已知凸优化问题的全局极小值,所以这种步长准则的应用范围有限。(本文来源于《重庆师范大学学报(自然科学版)》期刊2013年06期）
杨正豪[7]（2008）在《非单调技术与过滤集技术在最优化和非光滑方程组中的应用》一文中研究指出本文主要研究非单调技术和过滤集技术在最优化和非光滑方程组中的应用。在光滑非线性优化和非线性方程组问题中,过滤集技术已获得了成功的应用。现在,我们把过滤集技术引入到非光滑优化和非光滑方程组中,以及将过滤集技术和锥模型、信赖域技术相结合来解光滑非线性约束最优化问题。我们给出了解上述问题的算法并证明了它们的收敛性,对部分问题进行了数值试验。第1章中,我们给出了本文所用的一些记号和定义,简单地介绍了一些凸分析和非光滑分析、以及非单调技术和过滤集技术的基础知识。第2章主要研究了解非光滑方程组的过滤集信赖域方法,讨论的方程组的函数仅仅是局部Lipschitz的,我们介绍的算法主要是利用了过滤集技术和信赖域方法各自具有的优点,这个算法也是经典Levenberg-Marquardt方法的推广,主要思想是用一个光滑函数来逼近局部Lipschitz的函数,在算法中需要导数的地方就用逼近的光滑函数的导数,在一组标准假设之下,我们给出了算法的全局收敛性证明。第3章主要研究了解LC~1无约束最优化问题的过滤集信赖域方法,主要运用了二阶Dini上方向导数。这个算法是[31]解光滑无约束最优化问题过滤集方法的推广,在一组标准假设之下,我们证明了该算法的全局收敛性。第4章主要研究了解非线性约束最优化问题的锥信赖域过滤集方法。信赖域方法是一个强有力的优化方法,锥模型方法与二次模型相比,是一个具有更多可用信息的新型方法,过滤集技术是一个由Fletcher和Leyffer提出的代替评价函数并保证全局收敛的解非线性规划的方法,我们的工作是综合这些技术,构造一个解非线性约束最优化问题的锥信赖域过滤集方法。在一组标准假设之下,我们证明了该算法的全局收敛性。第5章主要研究了解无约束最优化问题的非单调信赖域方法,对于无约束最优化问题,为了保证算法的总体收敛性,通常的信赖域方法在迭代过程中要求保持目标函数值单调下降,但这往往会使算法收敛速度减慢。本文给出非单调信赖域方法,允许目标函数值在某些步上升,而保持其全局收敛性和超线性收敛性。数值试验表明,非单调信赖域方法优于通常的信赖域方法。(本文来源于《南京师范大学》期刊2008-06-30）
周厚春,席敏[8]（2003）在《复合非光滑最优化线搜索方法的全局收敛性(英文)》一文中研究指出考虑复合非光滑最优化问题minh(f(x)),其中f是一个局部Lipschitzian函数,h是一个连续可微凸函数.本文给出了复合非光滑最优化问题的一个线搜索算法,并且在一定条件下证明了该算法的全局收敛性.(本文来源于《南京师大学报(自然科学版)》期刊2003年03期）
李传乐,黄力人[9]（2003）在《非光滑约束最优化的稳定序列和最小值序列》一文中研究指出研究了非光滑凸函数的LP最小值序列的性质及其与稳定序列之间的关系,由于已对非光滑凸函数的稳定序列有了较详尽的研究,所以着重研究稳定序列具备哪些条件后是LP最小值序列,最后给出了一个关于非光滑凸函数的稳定序列和LP最小值序列的充分必要条件.(本文来源于《湛江师范学院学报》期刊2003年03期）
李传乐,黄力人[10]（2003）在《非光滑约束最优化问题的最小值序列》一文中研究指出研究了非光滑凸函数的LP最小值序列的性质 ,并给出了它与稳定序列之间的关系 .(本文来源于《华南师范大学学报(自然科学版)》期刊2003年02期）
非光滑最优化论文开题报告
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
金融数学主要包含叁个分支:投资组合理论;资产定价理论;风险度量理论。本文主要研究连续时间投资组合选择问题。期望效用最大化和均值-方差组合优化模型是目前两种最主要的投资组合选择理论。除此之外,考虑如何以尽可能大的概率达到一个预先设定的目标也是一个很有趣的投资组合选择方式。本论文将对这叁种投资组合选择理论进行不同程度的推广。期望效用理论由于受到了诸如Allais悖论、Ellesbcrg悖论的挑战,逐渐被更广的效用理论(如递归效用,多先验效用)所代替。在本论文中,我们首先从两方面研究递归效用最大化问题。第一方面,我们研究了部分信息下递归效用的优化问题,其中投资者只能观测到股票价格,而无法观测到股票的平均收益率,同时不需要递归效用方程的系数是可微的。本文利用鞅方法,通过一系列的转化,将该问题转化为一个博弈问题,然后用凸对偶方法刻画了该博弈问题的鞍点,并给出了原问题的最优终端财富。第二方面,我们研究了凹系数下的递归效用优化问题,其中投资者的财富方程和递归效用方程的系数都不需要可微性假设,从而能够包含借入借出利率不相等模型和K-未知模型。通过鞅方法和凸对偶方法,我们给出了其对偶问题的鞍点刻画以及原问题的最优终端财富,并且给出了几个能够显式算出最优解的例子。其次,我们把均值-方差组合优化模型从经典的线性财富方程推广到一类非线性非光滑财富方程情形。当财富方程的系数都是确定性函数时,我们采用动态规划原理,写出其相应的HJB方程,并且构造出了该HJB方程的粘性解,从而得到了最优投资组合的反馈形式;当财富方程的系数是随机过程时,借助于随机Riccati方程,我们用配方法给出了最优投资组合的反馈形式。另外,为了与[53]中的充分性作比较,本文还利用凸对偶方法找到了财富方程的"合适"的下导数。第叁,我们研究了投资者对于股票收益率有模糊时的达到目标问题。投资者想要寻找最稳健的投资策略,所以这本质上是一个博弈问题,但是由于目标函数非凸非凹,甚至不连续,"min-max"定理无法直接使用,我们会直接证明"min-max"可以交换,并且显式的给出鞍点的形式。在经典的概率公理体系中,极限理论是一个很重要的分支。由于Allais悖论、Elles-berg悖论的出现,在期望效用理论被更广的效用理论所替代的同时,概率的可加性,甚至Kolmogorov的经典概率公理体系也受到了冲击。这促使学者们开始研究非可加概率和非线性期望下的大数定律和中心极限定理。但是,非可加概率下的中心极限定理进展非常缓慢。在信念测度下,最近[30]给出了针对Bernoulli随机变量的双边区间上的中心极限定理。虽然信念测度在某种意义上是最特殊的一种非线性概率,这仍然是很大的进步。因此,在本论文的最后一章,我们把[30]中的中心极限定理从Bernoulli随机变量推广到了一般有界随机变量。其中,刻画双边区间上的信念测度需要用到二维正态分布,其相关系数的计算是非常复杂的。下面,我们将简要的介绍每一章的主要结果。1.部分信息下的递归效用优化假设金融市场中的股票价格满足以下随机微分方程:(?)在本章,我们假设投资者观测不到股票的平均收益率μ'=(μ1,...,μd)和驱动股票价格的布朗运动W,而只能观测到股票价格S。从而,投资者必须基于股票价格选择投资策略来达到递归效用最大化,也就是说他的投资组合π(t)必须是gt=σ(S(u),u ≤t)适应的。由于投资者无法观测到布朗运动W,他的递归效用过程也就无法用W来驱动。为了定义基于信息流{gt}t>0的效用过程,我们引入新息过程(?)上述W是概率p下的布朗运动,并且σ(W(s),s≤y)(?)gt。从而我们可以定义投资者的递归效用过程(?)并且财富方程可以写成dX(t)=π'(t)μ(t)dt + π'(t)σ(t)dW(t).(0.0.3)通过上述滤波技术,我们的在第一章中主要研究的问题可以归结为最大化yx,π(0),(0.0.4)其中X(t≥ 0表明不允许投资者破产。根据BSDE的解的存在唯一性,我们知道选择π和选择终端财富X(T)是等价的,而且根据BSDE(1.2.3)的比较定理,我们知道一个非负的终端财富(ζ= X(T)≥ 0)会使得财富过程在任意[0,T]上的时刻都非负。从而,我们的问题(0.0.4)转化成下面的优化问题:其中并且"控制变量"终端财富ξ是从下面这个集合中选出来的由于函数f是凹函数,不一定可微,所以[54,55]中的最大值原理无法使用。我们把上述问题(0.0.5)进一步转化成一个博弈问题:其中函数F是f的凸对偶函数并且我们想要找到鞍点(β,γ,ξ)∈B × A(x)使得对任意0<ζ<∞,我们引入值函数以及在1.3节,我们得到了以下结论。引理0.1.假设(H1.1),(H1.3),(H1.4)成立,对任意给定的ζ>0,存在一对(β,γ)=(βζ,γζ)∈ 达到式(0.0.9)中的下确界。引理0.2.假设(H1.1),(H1.3),(H1.4)成立,并且设则对任意给定的x>0,存在ζ = ζx ∈(0,∞)达到式(0.0.10)中的下确界。本章我们的主要结果是:定理0.1.假设(H1.1),(H1.3),(H1.4)成立,令(β,γ)是值函数(0.0.9)中的极值点,ζ是式(0.0.10)中的极值点,则(β,γ,ξ)是式(0.0.8)的鞍点,其中在1.4节,我们主要研究了当d = 1,f =K|Z|时的几个例子。例0.1.当u(x)=1-e-αx,x ∈R,α>0时,我们有问题(0.0.5)的最优终端财富值是例 0.2.当 u(x)= 1n x,x>0 时,我们有其中(y(t),z(t))是下述BSDE的唯一解,以及ζ=1/x 问题(0.05)的最优终端财富值值是ξ =·例0.3.当μ(t)是t的有界确定性的函数时,我们有例 0.4.2.凹系数下的递归效用优化在第1章中,财富方程是线性的,但是在很多重要的金融市场中,财富方程不再是线性的,比如借入-借出利率不相等情形。所以本章将研究当财富方程和递归效用方程的系数都是凹函数时的效用最大化问题。在第2.2节开始,我们首先给出了几类重要的财富方程,他们的系数都是非线性非光滑的,但是都是凹函数。把终端财富值看成"控制变量",我们的问题是,其中和由于函数b和f都是凹函数,不一定可微,故无法用最大值原理来刻画最优的ξ。所以我们把上述问题转化成变分形式我们想要找到鞍点(β,γ,ζ)∈ β ×A(x)使得对任意0<ζ<∞,引入值函数和在2.3节,我们得到了以下结论,引理0.3.假设(H2.1),(H2.2),(H2.3)和(H2.4)成立,则对任意给定的ζ>0,存在(∞,γ)=(βζ,γζ)∈ B和(μ,υ)=(μζ,υζ)∈B'达到式(0.0.16)中的下确界。引理0.4.假设(H2.1),(H2.2),(H2.3)和(H2.4)成立,对任意给定的实数x>0,存在实数a ∈(0,∞)达到式(0.0.17)中的下确界。本章我们的主要结果是下面的定理。定理 0.2.假设(H2.1),(H2.2),(H2.3),(H2.4)和(H2.5)成立,令(μ,υ,β,γ)是式(0.0.16)中的极值点,令ζ是式(0.0.17)中的极值点。定义则我们有(?)ξ ∈A(x),(?)(β,γ)∈ B,也就是说,(ζ,β,γ)是问题(0.0.15)的鞍点。在2.4节,我们令函数f =K'|Z|,u(x)= 1/αα,x>0,0<α<1,然后分别研究了线性财富方程情形、借入-借出利率不相等情形以及价格压力模型。特别地,对于最后一种财富方程,当系数是t的确定性函数时,我们用推广了的动态规划原理给出了最优的投资组合过程和最优的效用强度过程。3.一类非线性财富方程下的均值-方差问题假设投资者的财富方程满足以下随机微分方程:对于给定的期望水平K,考虑下面的连续时间均值-方差投资组合选择问题:在3.2节中,我们首先研究了当股票个数和布朗运动维数d=1,以及所有系数r,θ,θ,σ都是t的确定性函数时的均值-方差问题。我们把问题(0.0.19)动态化,得到值函数v(t,x;d)(d是拉格朗日乘子)应该满足HJB方程,我们给出了 HJB方程(0.0.20)的一个粘性解并且说明了该粘性解就是值函数v(t,x;d)。定理0.3.假设(H3.1)成立,则是HJB方程(0.0.20)的一个粘性解。并且问题(3.2.6)的最优反馈控制是进而我们得到了本节最主要的结果。定理0.4.问题(0.0.19)的有效策略可以写成时间t和财富X的函数:在3.2.3节中,我们给出了几个符合财富方程(0.0.18)的金融市场模型。本章3.3节致力于研究d≥1维随机系数情形的均值-方差问题(0.0.19)。首先,对于问题(0.0.19)的可行性,我们有以下定理。定理0.5.对任意的(?),均值-方差问题(0.0.19)是可行的当且仅当其中由于财富方程(0.0.18)的系数是随机的,故问题(0.0.19)无法用3.2节中的动态规划原理方法解决。而且[53]中的终端变分方法也无法使用,因为(0.0.18)的系数不可微。所以我们将采用完全平方法,而这需要两个推广了的随机Riccati方程。其中我们研究了方程(0.0.22)和(0.0.23)的解的存在唯一性。定理0.6.BSDE(0.0.22)(相应地(0.0.23))存在唯一解(Pr,A1)(相应地(P2,A2))。有了随机Riccati方程的解的存在唯一性,我们就可以通过Riccati方程来构造问题(3.3.6)的最优控制。定理0.7.状态反馈控制是问题(3.3.6)的最优控制。而且问题(3.3.6)的最小花费是本节的主要结论是定理0.8.问题(0.0.19)的有效策略可以写成时间t和财富X的函数:在3.3.3节,当d = 1时,我们用凸对偶方法把[53]中推论4.4断言的下导数找到了。即其中(Y,Z)是下面这个倒向随机微分方程的解并且4.带模糊的目标可达问题在本章中,我们研究了当投资者对于股票平均收益率带有模糊时的"目标"问题。投资者试图寻找一个最稳健的投资策略,即在最坏的可能情况下以尽可能大的概率达到"目标"。具体的说,本章研究了以下博弈问题:由于目标函数I{x≥1}既不是凸函数也不是凹函数,甚至不连续。在这种情况下,"min-max" 定理无法使用,我们直接证明了 "min-max" 可以交换,并且显式的给出了鞍点的形式。令其中通过直接证明以下两个定理,定理定理得到了本章最重要的结果,定理0.11.(θ*,π*)是问题(0.0.24)的一个鞍点,也就是说,5.信念测度下的中心极限定理本章致力于将[30]中关于信念测度下Bernoulli随机变量的中心极限定理推广到一般有界随机变量情形。5.2节给出了信念测度的基础知识,5.3节研究了信念测度在单边区间上的中心极限定理,得到了以下结论。定理0.12.对于假设(H5.1)中定义的随机变量序列(?),我们有和其中μ,μ,σ,σ厅是引理5.1中定义的。以上结论显示独立同分布随机变量序列的部分和经过合适的标准化会渐进于标准正态,似乎看不出与经典的中心极限定理的本质区别。由于信念测度的非可加性,单边区间的中心极限定理并不能完全刻画信念测度的全部性质,甚至连双边区间上的极限性质也无法刻画。对于双边区间情形,我们有以下极限定理成立。定理0.13.对于假设(H5.1)中定义的随机变量序列(?),存在不依赖于α1,α2或n的常数K使得其中ρ是引理5.2中定义的。而且,上述结果当α1和α2依赖于n时也是成立的。从上述定理可以看出来,独立同分布随机变量序列的部分和落入双边区间的信念测度渐进于二元正态分布,这是与经典概率测度下的中心极限定理本质不同之处。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
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