几类分数阶微分方程边值问题与上下解方法的研究

论文摘要

近几十年来,分数阶微分方程越来越多的被用来描述流变学、力学、材料学、信号处理以及其它应用领域中的问题.边值问题是微分方程理论中的一个重要课题.其提出和发展与流体力学、材料力学等密切相关.各种实际问题中有大量数学模型可以归结为分数阶微分方程边值问题.近几年来,很多研究致力于各种分数阶微分方程边值问题解的存在性问题,并得到了一系列的优秀结果.关于分数阶微分方程边值问题解的存在性问题主要研究方法是通过把分数阶微分方程问题转换成等价的积分方程问题,然后利用非线性分析的方法,如不动点定理、度理论、上下解方法等工具来得到原问题解的存在性结果.其中,上下解方法是研究常微分方程和泛函微分方程边值问题的经典的有效工具.这种方法的显著之处在于,我们不仅证明了解的存在性,而且还得到了它的介于上解和下解之间的估计.本文主要研究几类分数阶微分方程边值问题与上下解方法,推广并改进了已有结果.本文的主要内容如下:第一章,概述分数阶微分方程以及上下解方法研究的历史背景、研究动态和研究意义,同时介绍了本文的主要工作.第二章,研究具两个非线性项的分数阶微分方程积分边值问题的正性.通过上下解方法和Schauder不动点定理得到正解的存在性,通过Banach压缩映像原理得到唯一性结果.第三章,将第二章研究的方程推广到广义非线性分数阶Bagley-Torvik方程.基于上下解方法利用Schauder不动点定理得到了正解的存在性结果,然后利用Banach压缩映像原理给出解的唯一性的结果.第四章,研究一类具p-Laplace算子的奇异分数阶微分方程边值问题.利用上下解方法结合单调迭代方法研究上述问题解的存在性.探讨构造上下解的方法,并给出相应的例子.第五章,研究一类具有瞬时脉冲和积分边值条件的非线性分数阶微分方程.利用上下解方法结合Amann三解定理,得到了至少存在三个解的充分条件.第六章,研究非瞬时脉冲分数阶微分方程边值问题上下解方法.第七章,研究带两项Caputo分数阶导数的脉冲Langevin方程,利用Banach压缩映像原理和Krasnosel’skii不动点定理得到解的存在唯一性结果.第八章,对本文的主要结果进行了归纳和总结,并对今后的研究工作进行了展望.

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 徐梦瑞

导师: 孙书荣

关键词: 分数阶微分方程,边值问题,存在性,上下解方法,脉冲

来源: 济南大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 济南大学

分类号: O175.8

DOI: 10.27166/d.cnki.gsdcc.2019.000456

总页数: 117

文件大小: 2307K

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