关键词：分离参数；转化；最值；恒成立
作者简介：李晋，任教于陕西省西安市阎良区西飞第一中学。
函数的内容作为高中数学知识体系的核心，也是历年高考的一个热点。函数类问题的解决最终归结为对函数性质、函数思想的应用。恒成立问题，在高中数学中较为常见。这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图像，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
一、利用取特殊值求解
例1：若函数的图像关于直线对称，那么()。
A.1B.C.D.
略解：取及，则，即，故选B。
此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想。
二、通过转化变量利用一次函数单调性求解
给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像(线段)(如下图)，可得上述结论等价于
ⅰ），或ⅱ），可合并成
同理，若在内恒有，则有
例2：对于满足的所有实数，求使不等式恒成立的的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：及，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将视作自变量，则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于0恒成立的问题。
解：原不等式转化为在时恒成立,设，则在上恒大于0，故有：
即解得：
∴或。即。
此类题本质上是利用了一次函数在区间上的图像是一线段，故只需保证该线段两端点均在轴上方(或下方)即可。
三、利用二次函数判别式、韦达定理及根的分布求解
对于二次函数，在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即
恒成立；
恒成立。
若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。
例3：若函数的定义域为R，求实数a的取值范围。
分析：该题就转化为被开方数在上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。
解：依题意，当
恒成立，所以，①当
此时
②当
有
综上所述，的定义域为时，。
对于二次函数在R上恒成立问题往往采用判别式法，而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题。
四、通过分离变量，巧妙求解
运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于取值范围内的任何一个数都有恒成立，则；若对于取值范围内的任何一个数，都有恒成立，则。(其中和分别为的最大值和最小值)
例4：已知三个不等式①，②，③，要使同时满足①②的所有的值满足③，求的取值范围。
略解：由①②得，要使同时满足①②的所有的值满足③，即不等式在上恒成立，即上恒成立，又所以。
利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题。
五、利用数形结合思想方法直观求解
例5：的取值范围。
分析：设，即转化为求函数的最小值，画出此函数的图像即可求得的取值范围。
解：令
在直角坐标系中画出图像如图所示，由图像可看出，要使只需。
故实数
本题中若将改为：
①，同样由图像可得a>3;
②,构造函数，画出图像，得a<3。
利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，做出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图像之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围。
六、利用不等式求解
例6：已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为___________。
解析：只需求的最小值大于等于9即可，又
，等号成立仅当即可，所以，
即，求得或（舍去），
所以，即的最小值为4。
恒成立的题型和解法还有很多，只要我们充分利用所给定函数的特点和性质，具体问题具体分析，选用恰当的方法，对问题进行等价转化，就能使问题获得顺利解决。只有这样才能真正提高分析问题和解决问题的能力。
作者单位：陕西省西安市阎良区西飞第一中学
邮政编码：710089
Problem-SolvingMethodsinPermanentEstablishmentofFunctions
LIJin
Abstract:Thispaperexpoundsproblem-solvingmethodsinpermanentestablishmentoffunctionsbasedonspecificexamples.
Keywords:separated-parameter;transformation;maximaandminima;permanentestablishment