张乃敏[1]2003年在《相容和不相容奇异线性方程组的算法与扰动分析》文中指出本文主要是一类奇异线性方程组的理论分析及其数值算法。与非奇异线性方程组不同的是并非所有的奇异线性方程组都是相容的，从而针对相容的和不相容的这两种情况我们分别进行探讨。在众多的奇异线性方程组当中，一类其系数阵是值域Hermite的奇异线性方程组引起了我们极大的兴趣，因为值域Hermite的矩阵(也称为EP阵)以及与其相应的线性方程组很广泛地存在着。对EP阵的广义逆的研究表明，其广义逆是保持正则逆最多性质的一类广义逆，另外EP线性方程组的解的结构也有一些一般奇异线性方程组所没有的良好性质。在奇异线性方程组解的扰动分析方面，我们首先从最具有代表性的广义逆A_(TS)~(2)着手，建立了有关求解奇异线性方程组的条件数的表达式，从而推广了非奇异线性方程组的条件数的一些结果，然后我们对EP线性方程组的广义逆解的相对扰动误差界给出一个估计式。在算法方面，我们以Poisson方程和Navier-Stokes方程为例，首先我们说明这两个方程经差分格式离散后所得到的线性方程组均是EP线性方程组，当方程组不相容时我们通过求其最小Ⅱ·ⅡM范数解来获得一个比较好的停机标准。对Navier-Stokes方程的求解，我们重点是比较不同预条件的GMRES方法，对基于对称，反对称分裂(HSS)的预条件([15])，我们提出几种变形，本论文分别用M_(α1—M_(α4)来表示，并用它们和约束预条件做比较，结果表明，在计算时间上M_(α1)是最少的，最后我们对EP线性方程组的广义逆解的扰动分析的某些结果也通过数值实验给予验证。
秦梅[2]2006年在《一类奇异方程组的求解和扰动分析》文中研究表明本文主要研究奇异线性方程组的有关理论，在众多的奇异线性方程组中，一类其系数阵是值域Hermite的奇异线性方程组近年来引起了许多学者的关注，这类矩阵(也称为EP阵)以及与其相应的线性方程组出现在许多应用问题中。对其广义逆的研究表明，其广义逆是保持正则逆最多性质的一类广义逆，另外其相应的方程组的解的结构也有一些一般奇异线性方程组所没有的良好性质。在奇异线性方程组的求解方法中，我们提出了基于正则分裂的二级迭代法并给出收敛分析；在论文的第叁章我们对奇异的结构化矩阵的置换秩进行了研究，得到了一些结论并给出了应用。在奇异线性方程组解的扰动分析方面，我们首先从最具有代表性的广义逆着手，给出了扰动结果，并推广到加权广义逆，最后讨论了奇异线性方程组的条件数，从而推广了非奇异线性方程组的条件数的一些结果，在论文最后一章，以Navier-Stokes方程为例，首先说明Navier-stokes方程经差分离散后所得的线性方程组是EP线性方程组，鞍点问题一般由Navier-stokes方程、Oseen方程或Stokes方程引出。对这类问题的求解，已经存在很多方法，其中包括直接法、Uzawa类型算法及Krylov子空间方法。本文回顾了已经存在的Uzawa类型算法，将Zulehner在[82]中提出的统一方法应用到广义鞍点问题，分析了算法的收敛性问题，并给出了定理和结论。
王丁丁[3]2014年在《双层结构预测控制的结构特性分析》文中研究说明现代工业过程的优化与控制普遍地采用了以模型预测控制技术为核心的递阶结构,而且随着工业控制技术的发展,当前在现场应用最为广泛的预测控制软件中采用的都是双层结构。双层结构预测控制是预测控制算法研究中的一个分支,学术界对于双层结构预测控制的理论研究还落后于其在工业界的应用,目前普遍观点认为双层结构预测控制器的优势是其在降低过程方差的基础上进一步提高经济效益的能力。近年来对于预测控制的研究更多的是关于其算法的设计、算法性能的提升；对于预测控制稳态优化的理论研究主要集中在可行性分析方面。而对于“稳态优化+动态控制”这种双层结构设计中稳态层与动态层之间的作用机理的研究则非常少。本文从过程稳态入手,对开环稳定过程与积分过程进行稳态分析,分析稳态优化层与动态控制层之间的作用机理,展示双层结构预测控制器的设计内涵,并给出双层结构模式的理论依据；同时对预测控制器的双层结构策略与区间控制策略进行性能对比,提出并证明了预测控制两种不同策略在一定条件下的一致性；还对双层结构预测控制的奇异性问题进行了研究,给出了一种离线改进策略。本文完成的主要工作以及取得的成果如下：1.多变量预测控制器根据输入、输出个数可以从结构上划分为方系统、非方系统(包括胖系统,瘦系统)。文中通过仿真展示了非方系统控制中存在的相容性与唯一性问题,从过程的稳态入手,利用过程的稳态平衡关系,将相容性与唯一性问题变换到线性代数框架下进行分析,找到了非方系统稳态解相容性与唯一性问题存在的根源,通过将对稳态解性质的分析方法由定性转变到定量,揭示了稳态优化的理论意义、双层结构预测控制的技术设计内涵,并利用改进的双层结构预测控制解决了非方系统的相容性与唯一性问题,实现了方系统与非方系统在预测控制算法描述上的统一。2.对积分过程预测控制算法进行稳态分析,提出一个用于判断多变量积分过程设定点是否可达的判据,作为多变量积分过程实现无静差控制的一个必要条件。同时探讨了模型失配与不可测扰动对积分过程双层结构预测控制算法的影响,利用补偿因子重新设计反馈校正环节,使改进后的算法能够实现存在模型失配过程的优化与控制。3.模型预测控制算法可以根据对过程输出的控制要求分为设定点控制策略、区间控制两种策略,采用区间控制策略的预测控制算法相较采用设定点控制策略的预测控制在技术上具有先进性。本文从过程的稳态入手,对于预测控制的这两种策略的作用机理进行了分析,从定性、定量两个方面分析比较了这两种不同策略的异同点,提出并证明了两种预测控制策略的一致性条件,论述了双层结构预测控制算法相较于属于单层结构的区间控制算法更具有先进性。4.多变量过程的输入输出之间的动态关系特性可能出现近奇异性的现象,文中提出并验证了模型病态性是否表现出来与输出移动方向存在相关性的观点,利用几何工具与SVD分析了模型病态对控制产生影响的本质原因。给出了一种离线的模型修正策略,该策略与现存的在线策略配合使用可以很好地解决模型病态问题。
凌思涛[4]2010年在《两类四元数问题的算法研究和广义逆的扰动分析》文中研究指明本文共分两部分：第一部分是两类四元数问题的算法研究,包括第二章和第叁章；第二部分是广义逆的扰动分析,内容见第四章.具体如下：1.二次四元数多项式方程给出一般的双边二次四元数多项式方程有解的充分必要条件,同时提供了两种求解一般双边二次四元数多项式方程的思想方法.第一种是将二次四元数多项式方程转化为一个二次约束条件下的含参变量的线性方程组求解问题,第二种是通过定义四元数的四个实表示矩阵将二次四元数多项式方程转化为与其等价的实二次型的求解问题.2.四元数最小二乘问题借助四元数矩阵的实表示,研究四元数最小二乘(QLS)问题,给出了求其范数最小的一般解和Hermitian叁对角解的迭代算法,并且提出一种预条件策略,数值实验表明将该预条件策略作用于本章所给的求解QLS问题Hermitian叁对角解的迭代算法和王明辉等人所给的LSQR-Q算法[99]都能产生比较好的效果.3.广义逆的扰动分析研究{1}-逆及其斜投影,和相容线性系统的扰动问题.令A∈Cm×n,A=A+E,其中E是一个充分小的扰动矩阵.对于任意一个给定的A-∈A{1},在Frobenius范数和矩阵谱范数意义下,首先给出距离A-及其斜投影最近的A-∈A{1}的表达式,然后在秩不变扰动的条件下推导了{1}-逆及其斜投影的扰动界；同时讨论{1,2}-,{1,3}-，{1,4}-,{1,2,3}-,{1,2,4}-，{1,3,4}-逆的相应问题,提供了一套研究广义逆扰动问题的新方法.
施侃乐[5]2012年在《几何连续性约束下的自由曲面过渡问题研究》文中进行了进一步梳理制造业是我国国民经济的支柱产业之一。几何造型通常是制造业的源头并占据其核心位置。其中建模的连续性及其精度直接影响汽车和飞机等现代工业产品的机械性能和美学质量，正逐渐成为工业设计系统竞相角逐的焦点之一。几何连续性克服了传统的参数连续性依赖于参数表达形式选取的弊端，但由于其理论难度和构造复杂性而成为造型软件性能提升的重要瓶颈之一。本文围绕工程应用急待解决的相容性、多面共点、连续阶等常见问题，对几何连续性理论及其约束下的自由曲面过渡方法展开研究，取得的主要进展如下：1N边洞的连续填充广泛用于顶点过渡、复杂倒角等造型环节。本文利用退化曲面在退化点处的奇异性解决了长期制约N边洞填充算法连续性提升的一阶相容性问题，针对切向相容性和扭曲相容性问题，论文分别提出月牙延伸面与叁角孔斯面填充方法，填充结果可达到无理论误差的G~1（法向）连续。2本文修正了前人在具有容差的一阶孔斯曲面构造方法中的存在的概念性错误，提出了G~2角点相容性问题的代数法解决方案，并将非相容边界的孔斯曲面插值由前人的ε-G~1连续提升到了(ε|→)-G~2（即满足给定容差的曲率连续）。3本文提出了多面共点处的G~2连续性提出判据、构造和调整方法，对前人给出的连续性条件数猜测给出了代数证明。基于该理论，本文提出的网格插值算法，不仅将前人在船体设计中只适用于正则棋盘形网格方法推广至了任意的封闭二流形拓扑，还将连续阶提升至无理论误差的G~2连续。4本文提出了叁种可分别在桥接、填充和混合操作中获得G~n连续的方法：正则曲变节点B样条曲面将B样条的节点向量推广至哈密尔特插值型函数序列，解决了造型中常见的尖点向圆滑区域过渡的不连续性扩散问题；周期B样条曲面用于直接构造零件端头等部位的帽状填充曲面，避免了其它填充方法可能产生的角点奇异问题，同时该曲面可与普通B样条曲面的无误差互转；本文提出的极坐标曲面混合方法将矩形定义域G~n映射到圆盘形极坐标定义域，并在相位平移后将N张曲面同时混合并保证其内部和边界处的G~n连续。以上构造型方法均不涉及迭代和大规模方程求解，算法效率高。
王珂[6]2006年在《线性与模糊线性系统求解的块迭代方法》文中研究说明线性系统在数学、物理学、统计学、工程学甚至社会科学中的许多问题求解时都占有重要的地位,尤其在近似求解物理中的线性偏微分方程时,最终都转化为线性系统的求解问题,所以对线性系统的求解历来都是数值代数研究的主要问题.众所周知,求解线性方程组的数值方法一般分为两类:直接法和迭代法。直接法的计算量小,但计算格式较复杂,因而适用于阶数不太高的方程组.现实问题大都是阶数很高且稀疏的大型线性系统,直接法就显得无能为力,迭代法可以弥补其不足,它程序简单,存储量小,适合系数矩阵是高阶稀疏的情形。经典的Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、SSOR、AOR等方法以及各种修正方法在不同问题、不同条件下的应用研究有很多,但是新问题不断出现,就需要用新的方法和途径来解决已有方法所不能或者说不能很好地解决的问题,也就需要我们不断地对线性系统的迭代法进行研究。 模糊数学自从Zadeh在1965年发表的奠基性论文“Fuzzy Sets”中首次提出模糊集的概念后得到了迅速发展,现在已经逐渐形成了一个新的独立的数学分支,在工程分析、模式识别、自动控制、经济和金融等领域中都有广泛应用。在这些应用中许多问题最终都归结为模糊线性系统的求解问题,因此像一般线性系统在解决实际问题时所起到的作用一样,模糊线性系统在解决模糊问题时也起到关键作用,而且作用越来越强。这就需要我们对模糊线性系统的求解进行研究,当变量的个数非常多时,对迭代方法的研究就显得很必要了。 论文对线性和模糊线性系统的迭代法做了一些研究。 首先,采用把原系统增广为一个4×4块的相容系统并进行Subproper分裂的途径对线性最小二乘问题的SSOR、AOR和GAOR方法进行了研究,给出了方法的实现过程和收敛的充要条件,数值例子表明方法是有效可行的。 然后,通过引入一个对称非奇异的预条件矩阵Q对SSOR方法求解Saddle点问题进行了研究,即所谓的SSOR-like方法,得出了方法的收敛区间,并对最优参数进行了分析,给出了最优参数的隐式表示。还给出了此方法求解加权最小二乘问题和Stokes方程的数值例子,结果表明在一定预条件下优于Golub等人提出的SOR-like方法。 最后,对一类系数矩阵元素是精确数,右端向量元素是模糊数的n×n模糊线性系统的Jacobi、Gauss-Seidel、SOR和SSOR方法利用Embedding方法进行了研究,给出了算法的收敛性分析和数值示例。对一般的m×n模糊线性系统和不相容模糊线性系统也进行了研究。
王振宇[7]2003年在《土木工程的层析成像与广义反演研究》文中研究说明在综合分析土木工程层析成像研究历史和现状的基础上，系统深入地研究了土木工程层析成像与广义反演的新理论、新方法和若干实用技术，研制了层析成像软件，数值仿真、室内试验和工程实例证明了本文方法的科学性、可行性和应用效果。研究成果可为结构的健康诊断与安全评估提供一定的科学依据。 本文的研究结论和创新点如下：(1)提出基于广义反演的层析成像研究框架，该框架包括外业测试与评估、前处理、正反演求解和结果分析评价等内容。(2)对层析成像所面临的离散不适定问题进行研究，通过对奇异值谱和Picard图的分析，剖析离散不适定问题求解困难的本质。(3)对常规SIRT算法进行改进；正则化方法在残差范数和解的范数之间进行最优折衷的思想对其他广义反演方法有较好的借鉴意义。(4)提出基于广义逆的一类反演方法和解评价指标。在分析解估计评价指标与阻尼系数关系的基础上，提出阻尼类反演方法的阻尼系数优选技术，采用多目标优化的评价函数法进行求解，该阻尼系数优选技术对初始值不敏感，所得阻尼系数合理。(5)研究叁种误差对反演结果的影响和小波分析的降噪技术；引入向后扰动的概念，分析广义逆算法的稳定性；提出对先验信息和约束条件的处理方法；在同等测试条件下，广义逆方法具有更高的识别精度。(6)提出可用于层析成像异常区识别的若干个定量算法，开展混凝土构件层析程成像试验，研究表明层析成像的缺陷评估更直观、准确、信息量更丰富，比其他常规方法有独特的优势。(7)电阻率层析成像正演算法采用点源二维电场的有限单元法，反演算法采用平滑度约束的最小二乘法，以均方根误差作为目标函数。(8)采用改进的Miller Soil Box进行土样的电阻率试验，根据四因素叁水平正交试验得出影响土的电阻率变化的主次因素顺序是：含水率、孔隙水的导电性、饱和度、土的种类。提出一个基于推广阿尔奇公式的粘土电阻率模型。对实测结果进行电阻率层析成像，能较好的发现地下目标，结合粘土的电阻率模型将有助于检测土层的含水率。
李姣芬[8]2010年在《两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程问题的理论和新算法》文中研究表明矩阵逆问题是矩阵逆特征值问题的延伸,矩阵逆特征值问题就是根据给定的谱数据构造矩阵的问题,它在控制设计,地球物理学,分子光谱学,粒子物理学,结构分析等领域都有广泛的应用.ε(半)正定和边界约束下的Procrustes问题来源于数理经济和数量统计.约束矩阵方程问题则是在满足一定约束条件的矩阵集合中求矩阵方程的解的问题,它是近年来数值代数领域中研究和讨论的重要课题之一,在结构设计,系统识别,结构动力学,自动控制理论,振动理论等领域有着广泛的应用.本篇博士论文研究了两类特殊矩阵的逆特征值,系统研究了ε(半)正定和边界约束下的Procrustes问题和几类约束矩阵方程问题,完成的主要工作和取得的研究成果如下：1.研究了两类新的对称矩阵-(R,S,μ)对称及(R,S,α,μ)对称矩阵的逆问题,最佳逼近问题,得到了逆问题有解的充要条件,给出了通解表达式和最佳逼近解的表达式,并定量地讨论了对于最佳逼近问题的扰动性分析,给定出了扰动分析上界具体表达式.2.利用Dykstra's交替投影算法,系统地解决了ε(半)正定和边界约束下的Procrustes问题.数值例子验证了算法的可行性和高效性.该问题用传统的矩阵分解技巧或传统的CG类迭代法难以求解,因为难以对边界约束给出具体解析表达式,或构造CG类迭代格式使更新矩阵满足边界条件.3.在交替投影算法理论的基础上,我们构造迭代算法系统地研究了线性矩阵方程AX=B,AXB=C,AXAT=B,AX+BY=C等在线性子空间或闭凸集(锥)的求解及其最佳逼近问题.丰富的数值实例表明,当系统维数较大时,该算法无论从迭代时间还是迭代步都比传统的迭代算法,如CG,CGLS算法有明显的优势.且当维数成倍增加时,由该算法得到相同精度的解所需的迭代步只是个位数的增长.该算法具有全局收敛性,当初始矩阵取为零矩阵,该算法能得到矩阵方程的在所给约束集合上的极小范数解.若初始矩阵为所给定的初始估计矩阵,该算法能得到相应的最佳逼近解.4.通过构造具有短递推格式的迭代方法,成功地解决了用迭代法求解主子阵约束下的约束矩阵方程最小二乘问题及其最佳逼近问题.在不考虑舍入误差的情况下,对任意的初始矩阵该算法都可以在有限步计算出问题的解,若选取特殊的初始矩阵,则可以得到相应的极小范数解.讨论了算法的相关性质,得到相应的残差序列的Frobenius范数是严格单调递减的.结合数值算例本文还讨论了算法对于最佳逼近问题的稳定性分析.此博士论文得到了国家自然科学基金的资助(10571047)和高等学校博士学科点专项科研基金(20060532014)的资助.此博士论文用LATEX2ε软件打印.
王文娟[9]2010年在《地球物理反演中病态矩阵方程正则化解算方法研究》文中研究表明地球物理反演是地球物理探测数据最重要的解释方法技术.求解地球物理反演问题常会涉及到大型病态矩阵方程的求解.理论上讲正则化方法是处理病态问题的有效手段,但在实践上正则化参数的选择却是一个困难的问题.本文在比较系统地研究了正则化方法的基础上,针对实际计算中常会碰到的问题,将其与Active-Set算法、差分进化算法等相结合,发展了一些新的病态矩阵方程正则化解算方法.论文的主要内容包括:1.研究了在实际反演中遇到参数有非负要求特性时的反演计算方法.将原问题转化为一个带非负约束的阻尼最小二乘问题,并用Active-Set算法求解.通过对理论模型进行数值模拟计算,验证了将Tikhonov正则化方法与Active-Set算法相结合的A-TR算法的有效性.应用到实际双频电导率成像反演,也取得了满意的结果.2.研究了差分进化算法在地球物理反演中的几种应用.为加速差分进化算法的收敛速度,提出了将种群熵的自适应差分进化(ARDE)算法以及粒子群差分进化混合(PSODE)算法分别与Tikhonov正则化方法结合.在大型反演计算中,这两种方法可以在不影响反演效果的前提下,不同程度地提高收敛速度,降低时间成本.同时结合LSQR和差分进化算法的优点,提出了基于LSQR算法的差分混合(HDE)算法,避开了Tikhonov和TSVD等直接正则化算法在选取正则化参数上的困难,同时具有数值稳定性好、不依赖于初值、不易陷入局部极值和收敛速度快等优点,适宜于在正则化参数选取困难情况时的地球物理反演问题的求解.3.提出了一种双参数混合正则化方法.引入了带有二阶正则算子的正则化项,并应用L-曲线法、偏差原理和广义交叉校验准则的优化组合确定了最佳正则化参数.数值模拟实验和实际数据处理实验结果表明了该方法的可行性.这是一种将高阶正则化算子应用于实际反演计算的新的尝试.基于数值模拟实验和实际数据处理实验,认为研究发展的A-TR算法、HDE等算法各有其不同的适用条件,A-TR算法适用于求解反演参数有非负约束的情况,而当正则化参数选取困难时,可采用HDE算法.针对本文所考察的双频电导率反演问题,由于电导率的非负性,采用A-TR方法可得到更加精细可靠的重建图像.
王平心[10]2015年在《阻尼系统特征灵敏度分析》文中进行了进一步梳理特征值问题灵敏度分析出现在故障诊断、系统识别、结构优化、模型修正等领域,其研究具有重要的理论意义和应用价值。本文研究广义特征值问题、二次特征值问题和非粘性阻尼系统的灵敏度分析,主要创新工作如下:利用隐函数定理,证明了广义特征值问题和二次特征值问题亏损特征值平均值的解析性以及存在对应于亏损特征值的解析左、右特征向量矩阵,并导出了左、右特征向量矩阵一阶偏导数的表达形式。导出了计算对称二次特征值问题重特征值所对应特征向量导数的控制方程,将特征向量的导数表示为控制方程的一个特解和对应齐次方程组的通解之和,分别基于“弹性”柔度矩阵、广义逆矩阵和构造一个增广线性方程组求控制方程的一个特解,给出了计算对称二次特征值问题重特征对导数的叁个方法。数值结果说明了这叁个方法的有效性。为了解决非对称二次特征值问题半单重特征值所对应特征向量的唯一性,提出了一个新的规范化条件,导出了计算右、左特征向量导数的控制方程,分别基于构造非奇异线性方程组、矩阵广义逆给出控制方程的一个特解,提出了计算非对称二次特征值问题半单重特征对导数的两个数值算法。数值结果说明了这两个算法都是有效的。导出了计算对称非粘性阻尼系统重特征值所对应特征向量导数的控制方程,通过构造一个非奇异线性方程组求控制方程的一个特解,给出了计算对称非粘性阻尼系统重特征对导数的一个新方法。数值结果说明了所给方法的有效性。
参考文献：
[1]. 相容和不相容奇异线性方程组的算法与扰动分析[D]. 张乃敏. 复旦大学. 2003
[2]. 一类奇异方程组的求解和扰动分析[D]. 秦梅. 复旦大学. 2006
[3]. 双层结构预测控制的结构特性分析[D]. 王丁丁. 浙江工业大学. 2014
[4]. 两类四元数问题的算法研究和广义逆的扰动分析[D]. 凌思涛. 华东师范大学. 2010
[5]. 几何连续性约束下的自由曲面过渡问题研究[D]. 施侃乐. 清华大学. 2012
[6]. 线性与模糊线性系统求解的块迭代方法[D]. 王珂. 兰州大学. 2006
[7]. 土木工程的层析成像与广义反演研究[D]. 王振宇. 浙江大学. 2003
[8]. 两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程问题的理论和新算法[D]. 李姣芬. 湖南大学. 2010
[9]. 地球物理反演中病态矩阵方程正则化解算方法研究[D]. 王文娟. 成都理工大学. 2010
[10]. 阻尼系统特征灵敏度分析[D]. 王平心. 南京航空航天大学. 2015
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