论文摘要
近几十年来,分数阶偏微分方程被广泛应用于工程和科学领域的复杂系统中.相对于整数阶导数,分数阶导数能够很好的描述具有遗传性或者记忆性,长距离依赖性,非局部性等性质的复杂环境,因而分数阶偏微分方程成为了模拟不规则扩散,污染物运移,随机动态系统,经济以及风险测评等复杂现象的强有力的数学工具.然而,分数阶偏微分方程中涉及到了一些复杂或者具有奇异性的分数阶积分算子,寻求有效的数值算法来求解此类方程是很具有挑战性的.另外考虑到分数阶算子特有的非局部性,相应的数值方法将会得到稠密或者满的系数矩阵.因此研究求解线性代数系统的快速迭代算法也很有现实意义.本文主要研究了两类时间依赖的空间分数阶扩散方程,即分数阶Fokker-Planck对流扩散方程以及分数阶Gray-Scott反应扩散方程.以两类分数阶偏微分方程为基础,本文主要作出了对模型的相关理论分析,数值算法,误差分析,数值模拟和对比,以及数据分析等相关研究.具体内容有:第一章简单给出了几类分数阶微积分的定义以及性质,并简单介绍了迭代算法中常用的快速矩阵乘向量算法,最后给出文章的主要内容和结构.第二章首先给出描述超扩散运移现象的一维空间分数阶对流扩散方程pt+（V（x,t）p）x-d pxx+γ（-△）2p=f（x,t）,x ∈ R,t∈(0,T],其中给出齐次边界条件和初始条件,利用欧拉拉格朗日局部伴随方法（ELLAM）导出模型的数值格式.这种数值方法的优点在于可以在数值上降低对Courant数的限制,并极大地减少时间上的截断误差且保持质量守恒.使得即使选取较大的时间步长和较粗的空间剖分,也可以获得精确的数值结果.并给出了相应格式的误差估计,证明了当真解p ∈ 时,该格式具有O（△t+hs+hs+1-a-ε）的误差阶.考虑到分数阶拉普拉斯算子的非局部性,数值格式会得到稠密或者满的系数矩阵.我们研究了系数矩阵的结构,并证明其为三对角矩阵加Toeplitz矩阵.从而借助于快速傅里叶变换和快速矩阵乘向量算法,构造了快速共轭梯度算法（FCG）.该算法可以将传统迭代算法所需的计算量O（I3）以及存储量O（I2）降低为O（Ilog2I）和O（I）,且不失任何精度.极大地减少了计算消耗.两个数值算例验证了该数值算法的准确性和高效性.算例说明当时间和空间剖分较粗时,ELLAM和向后欧拉格式相比准确性更高.并且该格式在空间上具有二阶收敛率.和传统的高斯消元法和共轭梯度法相比,FCG能够不失任何精度,且对于512阶线性代数系统,高斯消元法需要消耗的CPU时间为4小时以上,而FCG只需要14秒.第三章中,首先我们给出四边形区域上的二维非线性空间分数阶反应扩散方程组 Gray-Scott（GS）模型其中紧接着,求解了模型的均衡稳态点并分析了稳态点的线性稳定性.分析可得该模型关于参数F和κ共有三个稳态点,稳态点的线性稳定性随着参数值的变化而变化.同时得到使模型有意义的两个参数的取值范围,为进一步在数值模拟中参数值的选取提供理论依据.鉴于GS模型的复杂性,我们给出了模型适定性（well-posedness）的证明.在齐次边界条件和初始条件下,采用有限差分方法导出数值格式,即在时间上采用Crank-Nicolson（C-N）差分格式,空间上用加权带位移的Grunwald差分算子来逼近空间分数阶微分算子.同时采用二阶显隐方法来处理非线性项.对时间半离散数值格式的稳定性进行分析,分析表明时间半离散数值结果是有界的,由选取的时间T所控制.数值算例一用上述数值格式求解带有基准解问题,验证该数值方法的准确性.算例结果显示该数值方法在时间和空间上都有二阶收敛率.数值算例二通过给稳态点一个初始扰动,来观测在不同分数阶α,β和参数值下,反应扩散形成的pattern随着时间的变化.当α=β时,在不同的参数值F和κ下,Pattern随着时间的形成模式表现出了分裂和光弧扩散.当α≠β时,对比结果显示pattern形成的扩散路径和方式有了新的变化.考虑到该分数阶GS模型很难求取真解,且数值模拟时对分辨率要求很高,另采用谱配置方法对模型进行求解和模拟.引入径向分布函数（RDFs）,对两种方法所得稳态pattern结果做出RDFs图.对比结果表明两类数值方法所得的稳态结果基本一致,RDFs图拟合的非常好.这进一步说明了该数值方法的准确性.基于做出的RDFs图,通过研究峰值所对应的半径,得出了峰值半径与分数阶阶数α之间的标度率.该标度率在分子动力学的相关分析中具有重大意义.另考虑到Riesz分数阶导数主导的扩散是沿着坐标轴方向进行的,我们将GS扩散方程组进行推广研究,用分数阶方向导数关于概率测度的积分来作为分数阶扩散算子,即该分数阶方向导数在角度θ取特定值时可以退化为Riemann-Liouville分数阶导数.我们对新的模型做部分数值研究.在空间上采用快速有限元方法对其进行数值离散.通过对基函数的分数阶方向导数的估计,研究出系数矩阵为块-Toeplitz-Toeplitz-块的结构.进而将快速矩阵乘向量算法应用到迭代算法中.
论文目录
文章来源
类型: 博士论文
作者: 王亭亭
导师: 王宏
关键词: 空间分数阶对流扩散方程,空间分数阶模型,特征线法,误差估计,有限差分逼近,谱配置法,不规则扩散,径向分布函数
来源: 山东大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学,数学
单位: 山东大学
分类号: O241.82
DOI: 10.27272/d.cnki.gshdu.2019.000836
总页数: 113
文件大小: 5737K
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