分数阶Schr?dinger方程的两类保守数值方法

论文摘要

众所周知,分数阶微分方程的研究涵盖了许多领域,如物理、生物和工程等,Schr?dinger方程在Bose-Einstein凝聚、等离子体、非线性光学、流体动力学等领域中也有着重要的应用。分数阶Schr?dinger方程的解具有能量守恒、质量守恒和多辛结构等重要的几何结构,因此,在构造数值方法求解它的过程中,应该尽可能地保持这些几何结构。然而,对整数阶Schr?dinger方程保守数值方法已取得了丰富的研究成果,但对分数阶Schr?dinger方程保守数值方法现已取得的研究成果较少。因此,如何将整数阶Schr?dinger方程的保守数值方法推广到分数阶情形,进而构造出行之有效的保守数值方法高效精确求解分数阶Schr?dinger方程是值得深入研究的课题。本文即以此问题展开研究,具体研究内容如下:第一章,简要介绍分数阶微分方程的研究历程、分数阶Schr?dinger方程数值方法的研究现状以及本文要用到的一些预备知识。第二章,对一类带有波算子的分数阶Schr?dinger方程,分别采用Crank-Nicolsin Fourier Galerkin方法和Crank-Nicolson Fourier配置法进行离散,并详细研究所构造的数值方法保持原系统质量守恒和能量守恒的能力,同时对所构造的保守数值方法的收敛性进行详细的理论分析,并利用数值实验说明本章的理论结果的有效性。第三章,通过分离一类分数阶Schr?dinger方程的实部与虚部,将其写成等价的无穷维Hamilton偏微分方程。利用Fourier谱方法对原方程的空间变量进行离散,并将半离散格式写成等价的有限维Hamilton系统,对该有限维Hamilton系统时间变量利用Crank-Nicolson方法或平均向量场方法进行离散,进而得到全离散数值方法,并对所构造的数值方法保持原系统质量守恒、能量守恒以及收敛性进行详尽的理论分析,最后通过数值算例说明了理论结果的正确性。

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文章来源

类型: 硕士论文

作者: 杨蕊

导师: 丁效华

关键词: 分数阶方程,方法,谱方法,平均向量场方法,系统,保守数值方法

来源: 哈尔滨工业大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学,数学

单位: 哈尔滨工业大学

分类号: O241.8

DOI: 10.27061/d.cnki.ghgdu.2019.005644

总页数: 56

文件大小: 1501k

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