论文摘要
近年来,由 Hans Bethe 和 Edwin Salpeter 所命名的 Bethe-Salpeter 方程,广泛地应用于量子物理、量子化学等诸多领域的学术研究中.在多体物理学中,两粒子集体激发通常由两粒子格林函数描述,其激发态能级对应于这个函数的极点.目前已经有研究表明,两粒子格林函数满足Bethe-Salpeter方程,其极点可通过求解一个相关的哈密尔顿算子的特征值得到.利用适当的离散方法,该算子可被表述为一个具有特殊结构的Bethe-Salpeter特征值问题其中A,B ∈ Cn×n且满足AH=A。B =B.矩阵（?）的特殊结构使其特征值具有（λ λ,-λ,-λ）成对出现的重要性质,为了保持这些特殊结构,本文中我们有针对性的提出了两种保结构算法,ΓQR算法和Γ-Lanczos算法,分别用于求解中小规模和大型稀疏的Bethe-Salpeter特征值问题.利用矩阵Π≡,（?）,我们首先定义了Π±矩阵,Π对称,Π三对角,Π对角的矩阵结构,及Γ酉的关系和Π±矩阵的ΓQR分解,上述（?）便是一类Π-对称矩阵.基于经典的QR方法,我们针对稠密的中小规模的Bethe-Salpeter特征值问题提出了 ΓQR方法,该方法在迭代过程中始终保持了矩阵的Π对称结构.利用隐式双重步位移等技巧,我们给出了相关的详细算法和理论证明,数值实验表明了该算法的有效性.另外,针对大规模稀疏的Bethe-Salpeter特征值问题,我们利用Γ酉等性质构造了Π对称矩阵的Γ-Lanczos分解,结合位移求逆的技巧,基于ΓQR方法提出了一种保Π对称结构的Γ-Lanczos方法,该方法可有效求出（?）的少数几个所需的特征值及相应的特征向量,相关的收敛性定理和误差分析保证了该方法的有效性.本文的结构如下:第一章介绍了 Bethe-Salpeter特征值问题的相关背景,简述了两种常用的特征值求解的经典方法,阐明了目前已有的相关研究现状以及本课题的主攻方向.第二章给出了一些相关定义和理论,以及求解中小规模的Bethe-Salpeter特征值问题的保结构的ΓQR算法.第三章提出了针对大规模Bethe-Salpeter特征值问题的保结构的Γ-Lanczos算法.在第四章我们展示了一些相关数值实验结果.
论文目录
文章来源
类型: 硕士论文
作者: 周滢滢
导师: 李铁香
关键词: 特征值问题,保结构算法,算法
来源: 东南大学
年度: 2019
分类: 基础科学
专业: 数学,数学
单位: 东南大学
分类号: O241.6
DOI: 10.27014/d.cnki.gdnau.2019.000220
总页数: 74
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