常微分方程边值问题的一种数值解法

论文摘要

常微分方程边值问题在空间科学与工程技术中有着重要的应用。如工程学、天文学、力学、经济学等领域中的大量数学模型,常用常微分边值问题来描述。除了少数特殊类型外,常微分方程边值问题的精确解很难用解析形式来表示,这样寻求用近似方法求得其数值解显得尤为重要。目前常用的数值解法有试射法,有限差分法和有限元等方法。有限差分法和有限元方法需要将微分方程离散化成大型的方程组,当微分方程为非线性方程时,就需要面临很大的困难。本文针对某类可转化为含单未知参数初值问题的常微分方程边值问题,根据边值条件,设置初值方法所需的条件为未知参数作为微分方程的初始条件,转化为含单未知参数的常微分方程初值问题。然后利用某种初值问题的数值解法在一定步长条件下进行运算,由此可以得到节点处函数值的近似值的参数表达式,递推得到另一个边界点的参数表达式。然后利用原来边值问题的定解条件,建立前面设置参数所满足的一元非线性方程,接着通过相应的迭代法解出参数的近似值,即满足边界条件的解的初始条件的近似值。最后直接利用上述迭代结果作为初始条件,再次利用初值解法给出边值问题的数值解。由于本方法建立的一元非线性方程所涉及的函数比较复杂,为了能够有效地求解该方程,必须采用高阶收敛的迭代法并且要尽量避免函数导数的计算。为此本文设计一个改进的斯蒂芬森方法,每次迭代仅需计算三次函数值,且无需计算导函数就能达到四阶的收敛效果,进而大大地减小了计算量。为本文通过转化某类常微分方程边值问题为单未知参数的微分方程初值问题,建立一元非线性方程求解问题提供了有效的支撑。该迭代法丰富了非线性方程求根的方法,在理论上和应用上都具有较高的价值和意义。本文通过结合初值问题的数值解法和一元非线性方程的迭代法,提出求解带有某类边界条件的非线性常微分方程的一种新的数值方法,给出该方法的计算格式和收敛性证明,并通过数值算例进行对比分析。

论文目录

文章来源

类型: 硕士论文

作者: 黄佳玥

导师: 李福祥

关键词: 常微分方程,边值问题,试射法,欧拉法

来源: 哈尔滨理工大学

年度: 2019

分类: 基础科学

专业: 数学

单位: 哈尔滨理工大学

基金: 黑龙江省自然科学基金项目(A2018008)

分类号: O175.1

总页数: 42

文件大小: 1276K

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